Pas mes premières bijections

Montrer que les applications suivantes ne sont pas des bijections :
1) $f\colon \left\{ \begin{array}{l} \Z \longrightarrow\Z \\ n\longmapsto 2n \end{array} \right.$
2) $g\colon \left\{ \begin{array}{l} \R_{+} \longrightarrow \R \\ x \longmapsto x^2 \end{array} \right.$
3) $h\colon \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{P}(\N) \longrightarrow \mathcal{P}(\N) \\ A \longmapsto A\cup\{1\} \end{array} \right.$

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Solution by darktoaster

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1) $f$ n’est pas bijective car non surjective
En effet $1$ , et plus généralement tous les entiers impairs, n’a pas d’antécédent par $f$ puisque pour tout $n \in \N$ , $f(n) = 2n$ est pair.

2) $g$ n’est pas bijective car non surjective.
En effet $-1$ , et plus généralement tous les réels strictement négatifs, n’a pas d’antécédent par $g$ puisque pour tout $x\in\R_{+}$ , $g(x) = x^{2} \ge 0$

3) Deux manières de montrer que $h$ est non-bijective, soit qu’elle est non injective, soit qu’elle est non surjective.

Non injectivité : $h(\{4\}) = \{4\} \cup \{1\} = \{1,4\}$ et $h(\{1,4\}) = \{1,4\}\cup\{1\} = \{1,4\}$ . Ainsi $\{1,4\}$ admet plusieurs antécédents par $h$ .
Non surjectivité : $\{4\}$ n’admet pas d’antécédent par $h$ car $\forall A \in \mathcal{P}(\N), 1 \in h(A) = A \cup \{1\}$ or $1\not\in\{4\}$

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