Somme et produit des racines $n$-èmes de l’unité

Pour la somme :

Pour $n=1$, on a $\displaystyle \sum_{\omega \in μ_n} \omega =1$

$\displaystyle \sum_{\omega \in μ_n} \omega = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} e^{\frac {2\pi ki}{n}} = \frac {({e^{\frac {2\pi i}{n}}})^{n}-1}{e^{\frac {2\pi i}{n}}-1}=\frac {1-1}{e^{\frac {2\pi i}{n}}-1} =0$
NB : on utilise ici la formule de la somme d’une suite géométrique.

Pour le produit :
$\displaystyle \prod_{\omega \in μ_n} \omega = \displaystyle \prod_{k=1}^{n}e^{\frac {2k\pi i}{n}} = exp({\frac {2\pi i}{n}\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n} k})=exp({\frac {2\pi i}{n}}\frac {n(n+1)}{2}) = e^{i \pi (n+1)} =(-1)^{n-1}$

Les racines $n$-ièmes de l’unité (qu’on notera $w_{k}, k\in[|0,n-1|]$) sont les racines du polynôme
$$X^n-1.$$En utilisant les relations liant les coefficients d’un polynôme à ses racines, on obtient directement
$$\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k=0,$$et
$$\prod_{k=0}^{n-1}\omega_k =1.$$