Produits scalaires canoniques réels

Question 1

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Symétrie

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Soient $x = (x_{1}, \cdots, x_{n}) \in \R^{n}$ et $y = (y_{1}, \cdots, y_{n}) \in \R^{n}$
$<y, x> = \sum\limits_{i = 1}^n y_{i} x_{i} = \sum\limits_{i = 1}^n x_{i} y_{i} = <x, y>$
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Bilinéarité

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Soient $x = (x_{1}, \cdots, x_{n}) \in \R^{n}$, $y = (y_{1}, \cdots, y_{n}) \in \R^{n}$ , $z = (z_{1}, \cdots, z_{n}) \in \R^{n}$ et $\lambda \in \R$
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Vérifions seulement la linéarité à gauche, grâce à la symétrie que l’on a démontrée plus haut, la linéarité à droite découle automatiquement.

Par linéarité de la somme :
$<x , \lambda y + z> = \sum\limits_{i = 1}^n (x_{i} \cdot (\lambda y_{i} + z_{i})) = \lambda \sum\limits_{i = 1}^n x_{i} y_{i} + \sum\limits_{i=1}^n x_{i} z_{i} = \lambda <x,y> + <x,z>$
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Définie-positivité

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Soit $x = (x_{1}, \cdots, x_{n}) \in \R^{n}$
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$<x,x> = \sum\limits_{i=1}^n x_{i} x_{i} = \sum\limits_{i=1}^n (x_{i})^{2} \geqslant 0$
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Nous avons montré que $<\cdot,\cdot>$ est positive.

Supposons maintenant que $<x,x> = 0$
$\sum\limits_{i=1}^n (x_{i})^{2} = 0$
Si une somme à termes positifs est nulle alors tous ses termes sont nuls, donc :
$\forall i \in [\![1,n]\!], (x_{i})^{2} = 0$ , donc $\forall i \in [\![1,n]\!], x_{i} = 0$
On conclut que $x = 0$ et donc que $<\cdot,\cdot>$ est définie positive.
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Question 2

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Symétrie

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Soient $f \in \mathcal{C}([0,1],\R)$ et $g \in \mathcal{C}([0,1],\R)$
$<g, f> = \int_{0}^{1} gf = \int_{0}^{1} fg = <f, g>$
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Bilinéarité

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Soient $f \in \mathcal{C}([0,1],\R)$ et $g \in \mathcal{C}([0,1],\R)$, $h \in \mathcal{C}([0,1],\R)$ et $\lambda \in \R$
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Vérifions seulement la linéarité à gauche, grâce à la symétrie que l’on a démontrée plus haut, la linéarité à droite découle automatiquement.
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Par linéarité de l’intégrale :
$<f , \lambda g + h> = \int_{0}^{1} (f \cdot (\lambda g + h)) = \lambda \int_{0} ^{1} fg + \int_{0}^{1} fh = \lambda <f,g> + <f,h>$
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Définie-positivité

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Soit $f \in \mathcal{C}([0,1],\R)$
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$<f,f> = \int_{0}^{1} ff = \int_{0}^{1} f^{2} \geqslant 0$
$\newline$
Nous avons montré que $<\cdot,\cdot>$ est positive.

Supposons maintenant que $<f,f> = 0$
$\int_{0}^{1} f^{2} = 0$
Si une intégrale d’une fonction continue positive sur un segment non-réduit à un singleton est nulle alors cette fonction est nulle sur tout le segment :
$\forall x \in [0,1], (f(x))^{2} = 0$ , donc $\forall x \in [0,1],f(x)= 0$
On conclut que $f = 0$ et donc que $<\cdot,\cdot>$ est définie positive.
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Question 3

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Symétrie

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Soient $M \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ et $N \in \mathcal{M}_{n}(\R)$
$<N, M> = \mathrm{tr}(N^{T} M) = \mathrm{tr}((N^{T} M)^{T}) = \mathrm{tr}(M^{T}(N^{T})^{T}) = \mathrm{tr}(M^{T}N) = <M, N>$
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Bilinéarité

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Soient $M \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ et $N \in \mathcal{M}_{n}(\R)$, $P \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ et $\lambda \in \R$
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Vérifions seulement la linéarité à gauche, grâce à la symétrie que l’on a démontrée plus haut, la linéarité à droite découle automatiquement.
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Par linéarité de la trace :
$<M , \lambda N + P> = \mathrm{tr}(M^{T} \cdot (\lambda N + P)) = \lambda \mathrm{tr}(M^{T} N) + \mathrm{tr}(M^{T} P) = \lambda <M,N> + <M,P>$
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Définie-positivité

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Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\R)$
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$<M,M> = \mathrm{tr}(M^{T}M)$

Déterminons les coefficients diagonaux de $M^{T} M$ :
Soit $i \in [\![1,n]\!]$, $(M^{T} M)_{i,i} = \sum\limits_{k = 1}^n m^{T}_{i,k} m_{k,i} = \sum\limits_{k = 1} m_{k,i} m_{k,i} = \sum\limits_{k=1}^n (m_{i,k})^{2} \geqslant 0$

Les coefficients diagonaux de $M^{T}M$ sont positifs or la trace de $M^{T}M$ est la somme des coefficients diagonaux, la trace est donc positive comme somme de termes positifs :

$\mathrm{tr}(M^{T}M) = \sum\limits_{i=1}^n (M^{T}M)_{i,i} = \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n (m_{i,k})^{2} \geqslant 0$

Nous avons montré que $<\cdot,\cdot>$ est positive.

Supposons maintenant que $<M,M> = 0$
$\mathrm{tr}(M^{T}M) = 0$
Si une somme à termes positifs est nulle alors tous ses termes sont nuls, donc :
$\forall i \in [\![1,n]\!], \sum\limits_{k = 1}^n (m_{i,k})^{2} = 0$
utilisons ce principe encore une fois :
$\forall i \in [\![1,n]\!], \forall k \in [\![1,n]\!], (m_{i,k})^{2} = 0$
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Tous les coefficients de $M$ sont nuls, autrement dit $M$ = 0
Ce qui permet de conclure que $<\cdot,\cdot>$ est définie-positive.