Propriétés du parallélogramme

1. Par définition du parallélogramme, $(AB)$ est parallèle à $(CD)$, et $(AC)$ est parallèle à $(BD)$.

En considérant les deux droites parallèles $(AB)$ et $(CD)$ coupées par la droite $(BC)$, nous pouvons montrer que les angles alternes-internes $\widehat {ABC}$ et $\widehat {BCD}$ sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Quand des parallèles révèlent des angles), soit : $\bf \widehat {ABC}=\widehat {BCD}$ (1)

Il en est de même pour les angles $\widehat {ACB}$ et $\widehat {CBD}$ en considérant les deux parallèles $(AC)$ et $(BD)$ coupées par la diagonale $(BC)$, donc on aura : $\bf \widehat {ACB}=\widehat {CBD}$. (2)

Considérons maintenant les deux triangles $ABC$ et $BCD$. Ils ont un côté commun $BC$ et deux angles communs comme nous venons de le voir avec (1) et (2). Cette configuration est suffisante pour dire que tous les côtés et tous les angles des deux triangles sont égaux un à un (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux angles et un côté suffisent-ils pour définir un triangle ?). Les deux triangles sont donc superposables.

2. Ainsi, dans cette configuration pour les deux triangles, nous avons en particulier les égalités des côtés des triangles : $\bf AB=CD$ et $\bf AC=BD$.

3. Une autre conséquence de cette configuration des deux triangles est donc l’égalité des trois angles des deux triangles, un à un, ce qui nous donne en particulier : $\bf \widehat {CAB}=\widehat {CDB}$ (3).

Par ailleurs, étant données les égalités des angles (1) et (2), nous aurons aussi l’égalité de la somme de ces angles $\bf \widehat {ABC}+\widehat {CBD}=\widehat {BCD}+\widehat {ACB}$ , soit : $\bf \widehat {ABD}=\widehat {ACD}$ (4).

Avec (3) et (4), nous avons donc démontré l’égalité des angles opposés du parallélogramme.

4. Deux figures superposables ont la même aire. Il découle donc de la superposabilité des deux triangles $ABC$ et $BCD$ l’égalité de leurs aires, soit : $[ABC]=[BCD]$