Quand Euclide généralise Pythagore au cas d'un angle obtus

Soit un triangle $ABC$ possédant un angle aigu en B.
Soit $D$ le pied de la perpendiculaire issue de $A$ à la droite $(BC)$ .

Montrer que l’aire du carré de côté $AC$ , côté opposé à l’angle aigu, est égale à la somme des aires des carrés de côtés respectifs $AB$ et $BC$ , diminuée du double de l’aire du rectangle de côtés $BD$ et $DC$ .

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Euclide — Éléments

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Livre II - Proposition 13

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Solution by goldfinch

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Considérons le segment $[BC]$ avec le point $D$ situé sur ce segment. Cette configuration nous permet d’écrire l’égalité d’aires suivante : la somme des aires des carrés de côtés respectifs $BC$ et $BD$ est égale à la somme des aires du carré de côté $CD$ , augmentée du double de l’aire du rectangle de côtés $BD$ et $DC$ (pour la démonstration de cetté égalité dans cette configuration, voir le problème Un carré découpé… et un regroupement singulier des aires).

Ajoutons aux deux termes de cette égalité l’aire du carré de côté $AD$ ; nous obtenons ainsi l’égalité d’aires suivante: la somme des aires des deux carrés de côtés respectifs $AD$ et $BD$ , augmentée de l’aire du carré de côté $BC$ , est égale à la somme des aires des deux carrés de côtés respectifs $AD$ et $CD$ , augmentée du double de l’aire du rectangle de côtés $BD$ et $DC$ (1)

En utilisant la relation de Pythagore appliquée au triangle $ABD$ , rectangle en D, nous pouvons dire que la somme des aires des deux carrés de côtés respectifs $AD$ et $BD$ est égale à l’aire du carré de côté $AB$ (2)
Si nous appliquons la relation de Pythagore au triangle $ADC$ , rectangle en D, nous pouvons écrire que la somme des aires des deux carrés de côtés respectifs $AD$ et $CD$ est égale à l’aire du carré de côté $AC$ ( 3)
(pour la démonstration de la relation de Pythagore, voir le problème Quand Euclide démontre Pythagore…..).

En utilisant les égalités obtenues en (2) et (3), nous pouvons simplifier l’égalité (1) de la manière suivante : la somme des aires des carrés de côtés respectifs $AB$ et $BC$ est égale à l’aire du carré de côté $AC$ , augmentée du double de l’aire du rectangle de côtés $BD$ et $DC$ .
En retranchant aux deux termes de l’égalité l’aire correspondant au double de l’aire du rectange de côtés $BD$ et DC, nous obtenons la relation finale, soit : l’aire du carré de côté $AC$ est égale à la somme des aires des carrés de côtés respectifs $AB$ et $BC$ , diminuée du double de l’aire du rectangle de côtés $BD$ et $DC$ .
Ce qu’il fallait démontrer.

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