Un carré découpé… et un regroupement singulier des aires

Construire le carré $ABED$ de côté $AB$ sur le segment $[AB]$ (pour le détail de cette construction, voir le problème Construction d’un carré sur un segment).

Construire le point $F$, intersection de $(DE)$ avec la parallèle à $(AD)$ passant par $C$ (pour la construction de cette parallèle, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).
Soit G l’intersection de $(CF)$ avec la diagonale $(DB)$.

Construire les point $H$ et $I$, intersections de la parallèle à $(AB)$ passant par $G$ avec, respectivement, $(AD)$ et $(BE)$ (pour la construction de la parallèle, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).

Ce découpage du carré $ABED$ permet de mettre en évidence un premier carré $HGFD$ de côté $AC$, un second carré $CBIG$ de côté $CB$, et deux rectangles $ACGH$ et $GIEF$ complémentaires en G, superposables et donc de même aire (pour la démonstration de ces points, voir le problème Ce que révèle un découpage judicieux d’un carré).

Intéressons-nous maintenant au rectangle $ACFD$. Il a pour côtés $AC$ et $AD=AB$.
Il en est de même pour le rectangle $HIED$ dont les côtés $HI$ et $HD$ sont respectivement égaux à $AB$ et $AC$. Ainsi, ces deux rectangles sont égaux en aire ; $[HIED]=[ACFD]$ (1)

L’aire du grand carré $ABED$ est égale à la somme des ses parties découpées , soit :
$[ABED]=[CBIG]+[GIEF]+\bf [ACGH]+[HGFD]$
ou encore : $[ABED]=[CBIG]+[GIEF]+\bf[ACFD]$

Ajoutons aux deux membres de cette égalité l’aire du carré$HGDF$. nous obtenons :
$[ABED]+[HGDF]=[CBIG]+[ACFD]+\bf[GIEF]+[HGDF]$
ou encore $[ABED]+[HGDF]=[CBIG]+[ACFD]+\bf[HIED]$ (2)

En utilisant l’égalité (1), (2) devient : $[ABED]+[HGDF]=[CBIG]+[ACFD]+\bf[ACFD]$

ou encore : $\bf[ABED]+[HGDF]=[CBIG]+2\times [ACFD]$

Cette égalité avec $ABED$ carré de côté $AB$, $HGDF$ carré de côté $AC$, $CBIG$ carré de côté $CB$, et $ACFD$ rectangle de côtés $AC$ et $AB$, répond bien à la question posée.