Quand un diamètre coupe une corde...

1. Considérons les deux triangles $AFE$ et $CFE$. Leurs trois côtés sont égaux deux à deux : $EF$ est commun aux deux, $AF=FC$ car $F$ est milieu de $AC$ par hypothèse, et $EA=EC$ par définition du cercle.
   Lorsque deux triangles ont leurs trois côtés égaux deux à deux , leurs trois angles sont aussi égaux deux à deux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Trois côtés suffisent-ils pour définir le triangle ?), en particulier $\widehat {AFE}=\widehat {CFE}$.

Par ailleurs, par définition de l’angle droit, lorsqu’une droite - ici $(BD)$ - en coupe une autre - ici $(AC)$ -, et que les deux angles à l’intersection sont égaux, alors ils sont des angles droits, ce qu’il fallait démontrer.

2. Supposons maintenant que le diamètre $(BD)$ coupe la corde $[AC]$, tel que les angles $\widehat {AFE}$ et $\widehat {CFE}$ soient des angles droits.

Considérons d’abord le triangle $AEC$. Il est isocèle en E vu que $EA=EC$ par définition du cercle, donc ses deux angles $\widehat {EAC}$ et $\widehat {ACE}$ sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ?).

Considérons ensuite les deux triangles $AFE$ et $CFE$. Ils ont deux angles égaux deux à deux $\widehat {AFE}=\widehat {CFE}$ par hypothèse et $\widehat {EAF}=\widehat {ECF}$ comme nous venons de le voir ci-dessus, et ils ont aussi un côté commun $FE$. Ceci est suffisant pour en conclure que les autres côtés sont de même longueur deux à deux aussi (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux angles et un côté suffisent-ils pour définir un triangle ?), en particulier $AF=FC$; donc F est bien milieu de $[AC]$, ce qu’il fallait démontrer.