Quotient d'un groupe et d'un sous-groupe

Quotient d’un groupe et d’un sous-groupe

Considérons un groupe $G$ et un sous-groupe distingué $H$ .
Est-il nécessaire que le groupe quotient^EN $G/H$ soit isomorphe à un sous-groupe de $G$ ?

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Solution by Ancient Tree · translated by Catalpa

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Non, ce n’est pas nécessairement le cas. Par exemple, avec $G=\mathbb{Z}$ , les sous-groupes de $G$ sont de la forme $n\Z$ ; mais les quotients $\Z /n\Z$ ne sont pas de cette forme puisqu’ils sont finis.

Les contre-exemples dans les groupes finis sont un peu moins triviaux.

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