$\varphi$ est irationnel.
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Irrationalité de la racine carrée de 5

Nous pouvons commencer par remarquer que $\sqrt{5}$ est irrationnel. Pour le démontrer, on suit exactement la même démarche que pour démontrer l’irrationalité de $\sqrt{2}$ qui est démontré dans l’exercice suivant : $\sqrt{2}$ est-il un nombre rationnel ?.

Opérations sur les rationnels et irrationnels

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Ensuite, on utilise le fait que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est irrationnelle :
$\forall u \in \mathbb{Q}, \forall v \notin \mathbb{Q}, u + v \notin \mathbb{Q}$
et que le produit d’un nombre rationnel non-nul par un irrationnel est irrationnel :
$\forall u \in \mathbb{Q}^{*}, \forall v \notin \mathbb{Q}, u \cdot v \notin \mathbb{Q}$
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Ainsi $1 + \sqrt{5} \notin \mathbb{Q}$
On conclut enfin que $\varphi = \frac 1 2(1 + \sqrt{5}) \notin \mathbb{Q}$