Reconnaître une matrice antisymétrique

Soient $A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 1 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & -5 & 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3\end{pmatrix}$ , $D = \begin{pmatrix} 0 & 2i \\ -2i & 0\end{pmatrix}$ et $E = \begin{pmatrix} 0 & 1+3i \\ 1-3i & 0\end{pmatrix}$ . Pour chaque matrice, dire si elle antisymétrique ou non, en justifiant.

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Solution by darktoaster

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Remarques préliminaires

Pour vérifier qu’une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\C)$ est antisymétrique, on doit vérifier que $\forall i, j \in [\![1,n]\!], m_{i,j} = - m_{j,i}$

Les coefficients diagonaux d’une matrice antisymétrique sont tous nuls. En effet $\forall i \in [\![1,n]\!], m_{i,i} = -m_{i,i}$ donc $\forall i \in [\![1,n]\!], m_{i,i} = 0$

Matrice A

$A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 1 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & -5 & 0 \end{pmatrix}$
Les coefficients diagonaux de $A$ sont nuls
$-3 = a_{1,2} = -{2,1} = -(-3) = 3$
$1= a_{1,3} = -{3,1} = -1$
$5= a_{2,3} = -{3,2} = -5$
$A$ est antisymétrique

Matrice B

$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ ,
Les coefficients diagonaux de $B$ sont nuls
mais $1 = b_{1,2} \ne -b_{2,1} = -1$
$B$ n’est pas antisymétrique

(Remarque : $B$ est symétrique)

Matrice C

$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3\end{pmatrix}$ .
Certes $2 = c_{1,2} = - c_{2,1} = -2$
mais les coefficients diagonaux de $C$ ne sont pas tous nuls
donc $C$ n’est pas antisymétrique

Matrice D

$D = \begin{pmatrix} 0 & 2i \\ -2i & 0\end{pmatrix}$
$2i = d_{1,2} = -d_{2,1}=-2i$
et les coefficients diagonaux de $D$ sont nuls
$D$ est antisymétrique

Matrice E

$E = \begin{pmatrix} 0 & 1+3i \\ 1-3i & 0\end{pmatrix}$
$1 + 3i \ne -(1 - 3i)$
Donc $E$ n’est antisymétrique
$\newline$
(Remarque : $E$ est en revanche hermitienne)

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