Semi-linéarité et involutivité de la transconjuguée

Pour une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\C)$ , on note $A^{*}$ la matrice adjointe de $A$ définie par $A^{*} = \bar{A}^{T}$ (on conjugue tous les coefficients et on transpose). On appelle l’opération $*$ la transconjuguée.
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$\textbf{1) Semi-linéarité de la transconjuguée :}$ Soient $A$ , $B$ dans $\mathcal{M}_{m,n}(\C)$ et $\lambda$ dans $\C$ . Montrer que $(\lambda A + B)^{*} = \overline{\lambda} A^{*} + B^{*}$
$\textbf{2) Involutivité de la transconjuguée :}$ Soit $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\R)$ . Montrer que $A = (A^{*})^{*}$ .

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Solution by darktoaster

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Question 1

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Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
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$[(\lambda A + B)^{*}]_{i,j} = [\overline{\lambda A + B}]_{j,i} = \overline {\lambda} [\bar A]_{j,i} + [\bar B]_{j,i} = \overline{\lambda} [{\bar A}^{T}]_{i,j} + [\bar{B}^{T}]_{i,j} = \overline{\lambda} [A^{*}]_{i,j} + [B^{*}]_{i,j} = [\overline{\lambda} A^{*} + B^{*}]_{i,j}$
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Par égalité des coefficients, on déduit que : $(\lambda A + B)^{*} = \overline{\lambda} A^{*}+ B^{*}$
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Question 2

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En une phrase : On inverse les lignes et colonnes de $A$ et on conjugue, puis on réinverse les lignes et les colonnes de la transposée et on reconjugue, on retombe sur nos pattes.
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La transposée et la conjugaison complexe sont deux involutions donc la transconjugaison est aussi une involution.

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