Conjugué d’un nombre complexe

Définition intuitive

Le conjugué d’un point du plan $(x,y)$ est son symétrique $(x,-y)$ par rapport à la droite des abscisses.

Définition formelle

Le conjugué d’un nombre complexe $z=a+ib$ est le nombre complexe :
$$\bar{z}=a-ib.$$
Représentation du conjugué d’un nombre complexe par la symétrie par rapport à l’axe $(Ox)$, dit des abscisses.

Exemples et Remarques

$\bullet$ Le conjugué de $2+3i$ est $2-3i$.
$\bullet$ Le conjugué de $8$ est $8$ et celui de $8i$ est $-8i$.
$\bullet$ Les nombres complexes égaux à leur conjugué sont exactement les nombres réels. En effet, on a $z=\overline{z}$ si, et seulement si, $x+iy=x-iy$ soit donc $x=x$ et $y=-y$ donc $y=0$ et ainsi $z=x$ est réel.
$\bullet$ Les nombres complexes égaux à l’opposé de leur conjugué sont exactemet les imaginaires purs. En effet, on $z=- \overline{z}$ si, et seulement si, $x+iy=-x+iy$ soit donc $x=-x$ et $y=y$ donc $x=0$ et ainsi $z=iy$ est un imaginaire pur.