Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Complex analysisExercise

Multiplicativité de la conjugaison complexe

by Ancient Tree·
19
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Soient z1z_{1} et z2z_{2} deux nombres complexes.
Montrer que le conjugué de leur produit est le produit de leurs conjugués :
z1z2‾=z1‾  z2‾.\overline{z_{1}z_{2}}=\overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}}.

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Solutions

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Solution by darktoaster

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Méthode 1 : Via la forme algébrique d’un nombre complexe

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On écrit les formes algébriques des nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} :
On note x1x_{1} (resp. y1y_{1}) la partie réelle (resp. imaginaire) de z1z_{1} : z1=x1+iy1z_{1} = x_{1} + iy_{1}
On note x2x_{2} (resp. y2y_{2}) la partie réelle (resp. imaginaire) de z2z_{2} : z2=x2+iy2z_{2} = x_{2} + iy_{2}
\newline
D’une part, on multiplie z1z_{1} et z2z_{2} : z1⋅z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=x1x2+ix1y2+iy1x2+i2y1y2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1}+ i y_{1} )(x_{2}+ iy_{2}) = x_{1}x_{2} + i x_{1} y_{2} + iy_{1} x_{2} + i^{2} y_{1}y_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1}y_{2}) + i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})
puis on conjugue le produit : z1⋅z2‾=(x1x2−y1y2)−i(x1y2+x2y1)\overline{z_{1} \cdot z_{2}} = (x_{1} x_{2} - y_{1}y_{2}) - i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})
\newline
D’une autre part, on conjugue z1{z_{1}} et z2z_{2} : z1‾=x1−iy1\overline{z_{1}} = x_1 - i y_1 et z2‾=x2−iy2\overline{z_{2}} = x_{2} - i y_{2}
puis on multiplie les conjugés : z1‾⋅z2‾=(x1−iy1)(x2−iy2)=x1x2−ix1y2−iy1x2+i2y1y2=(x1x2−y1y2)−i(x1y2+x2y1)\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} =(x_{1}- i y_{1} )(x_{2} -iy_{2}) = x_{1}x_{2} - i x_{1} y_{2} - iy_{1} x_{2} + i^{2} y_{1}y_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1}y_{2}) - i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})

On conclut : z1⋅z2‾=z1‾⋅z2‾\overline{z_{1} \cdot z_{2}} = \overline{z_{1} } \cdot \overline{z_{2}}

Méthode 2 : Via la forme polaire d’un nombre complexe

Une autre méthode possible est de passer les deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme polaire car plus adaptée pour les produits et quotients :
On note r1r_{1} (resp. r2r_{2}) les modules de z1z_{1} et z2z_{2}.
Ils existent deux nombres réels θ1\theta_{1} et θ2\theta_{2} tels que z1=r1eiθ1z_{1} = r_{1} e^{i\theta_{1}} et z2=r2eiθ2z_{2} = r_{2} e^{i \theta_{2}}

En multipliant z1z_{1} et z2z_{2} : z1⋅z2=r1r2ei(θ1+θ2)z_1 \cdot z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (\theta_{1} + \theta_{2})}
En conjuguant le produit : z1⋅z2‾=r1r2e−i(θ1+θ2)\overline {z_{1} \cdot z_{2}} = r_{1}r_{2}e^{-i(\theta_{1} + \theta_{2})}

En conjuguant z1z_{1} et z2z_{2} : z1‾=r1e−iθ1\overline{z_{1}} = r_{1} e^{-i\theta_{1}} et z2‾=r2e−iθ2\overline{z_{2}} = r_{2} e^{-i\theta_{2}}
En multipliant les conjugués : z1‾⋅z2‾=r1r2e−iθ1e−iθ2=r1r2e−i(θ1+θ2)\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} = r_{1}r_{2}e^{-i\theta_{1}} e^{-i\theta_{2}} = r_{1}r_{2}e^{-i(\theta_{1} + \theta_{2})}
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On conclut : z1⋅z2‾=z1‾⋅z2‾\overline{z_{1} \cdot z_{2}} = \overline{z_{1} } \cdot \overline{z_{2}}

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