Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Multiplicativité de la conjugaison complexe

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Solution by darktoaster · FR

Méthode 1 : Via la forme algébrique d’un nombre complexe

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On écrit les formes algébriques des nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} :
On note x1x_{1} (resp. y1y_{1}) la partie réelle (resp. imaginaire) de z1z_{1} : z1=x1+iy1z_{1} = x_{1} + iy_{1}
On note x2x_{2} (resp. y2y_{2}) la partie réelle (resp. imaginaire) de z2z_{2} : z2=x2+iy2z_{2} = x_{2} + iy_{2}
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D’une part, on multiplie z1z_{1} et z2z_{2} : z1⋅z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=x1x2+ix1y2+iy1x2+i2y1y2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1}+ i y_{1} )(x_{2}+ iy_{2}) = x_{1}x_{2} + i x_{1} y_{2} + iy_{1} x_{2} + i^{2} y_{1}y_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1}y_{2}) + i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})
puis on conjugue le produit : z1⋅z2‾=(x1x2−y1y2)−i(x1y2+x2y1)\overline{z_{1} \cdot z_{2}} = (x_{1} x_{2} - y_{1}y_{2}) - i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})
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D’une autre part, on conjugue z1{z_{1}} et z2z_{2} : z1‾=x1−iy1\overline{z_{1}} = x_1 - i y_1 et z2‾=x2−iy2\overline{z_{2}} = x_{2} - i y_{2}
puis on multiplie les conjugés : z1‾⋅z2‾=(x1−iy1)(x2−iy2)=x1x2−ix1y2−iy1x2+i2y1y2=(x1x2−y1y2)−i(x1y2+x2y1)\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} =(x_{1}- i y_{1} )(x_{2} -iy_{2}) = x_{1}x_{2} - i x_{1} y_{2} - iy_{1} x_{2} + i^{2} y_{1}y_{2} = (x_{1} x_{2} - y_{1}y_{2}) - i(x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1})

On conclut : z1⋅z2‾=z1‾⋅z2‾\overline{z_{1} \cdot z_{2}} = \overline{z_{1} } \cdot \overline{z_{2}}

Méthode 2 : Via la forme polaire d’un nombre complexe

Une autre méthode possible est de passer les deux nombres complexes z1z_{1} et z2z_{2} sous forme polaire car plus adaptée pour les produits et quotients :
On note r1r_{1} (resp. r2r_{2}) les modules de z1z_{1} et z2z_{2}.
Ils existent deux nombres réels θ1\theta_{1} et θ2\theta_{2} tels que z1=r1eiθ1z_{1} = r_{1} e^{i\theta_{1}} et z2=r2eiθ2z_{2} = r_{2} e^{i \theta_{2}}

En multipliant z1z_{1} et z2z_{2} : z1⋅z2=r1r2ei(θ1+θ2)z_1 \cdot z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (\theta_{1} + \theta_{2})}
En conjuguant le produit : z1⋅z2‾=r1r2e−i(θ1+θ2)\overline {z_{1} \cdot z_{2}} = r_{1}r_{2}e^{-i(\theta_{1} + \theta_{2})}

En conjuguant z1z_{1} et z2z_{2} : z1‾=r1e−iθ1\overline{z_{1}} = r_{1} e^{-i\theta_{1}} et z2‾=r2e−iθ2\overline{z_{2}} = r_{2} e^{-i\theta_{2}}
En multipliant les conjugués : z1‾⋅z2‾=r1r2e−iθ1e−iθ2=r1r2e−i(θ1+θ2)\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} = r_{1}r_{2}e^{-i\theta_{1}} e^{-i\theta_{2}} = r_{1}r_{2}e^{-i(\theta_{1} + \theta_{2})}
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On conclut : z1⋅z2‾=z1‾⋅z2‾\overline{z_{1} \cdot z_{2}} = \overline{z_{1} } \cdot \overline{z_{2}}

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