Additivité de la conjugaison complexe

Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ des nombres complexes.
Montrer que le conjugué de leur somme est égale à la somme de leurs conjugués :
$\overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}.$

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Seishi15@seishi15

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Solution by darktoaster

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On note $x_{1}$ (resp. $y_{1}$ ) la partie réelle (resp. imaginaire) de $z_{1}$ : $z_{1} = x_{1} + iy_{1}$
On note $x_{2}$ (resp. $y_{2}$ ) la partie réelle (resp. imaginaire) de $z_{2}$ : $z_{2} = x_{2} + iy_{2}$
$\newline$
D’une part, on additionne $z_{1}$ et $z_{2}$ : $z_{1} + z_{2} = (x_{1}+x_{2} ) + i(y_{1}+ y_{2})$
puis on conjugue la somme : $\overline{z_{1}+z_{2}} = (x_1 + x_2) - i(y_1 + y_2)$
$\newline$
D’une autre part, on conjugue ${z_{1}}$ et $z_{2}$ : $\overline{z_{1}} = x_1 - i y_1$ et $\overline{z_{2}} = x_{2} - i y_{2}$
puis on somme les conjugés : $\overline{z_{1}} + \overline{z_{2}} = x_{1} - i y_{1} + x_{2 } - i y_{2 } = (x_{1} +x_{2}) - i (y_{1} + y_{2})$

On conclut : $\overline{z_{1}+z_{2}} = \overline{z_{1} } + \overline{z_{2}}$

$\newline$

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