Sous-espace topologique d’un espace séparé

by Ancient Tree·

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Est-ce qu’un sous-espace topologique d’un espace séparé est nécessairement séparé ?

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Solution by Ancient Tree

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Oui.

En effet : soit $X$ un sous-espace topologique d’un espace $Y$ .
Soient $x$ et $y$ dans $X$ . Comme $Y$ est séparé, il existe des ouverts disjoints $U$ et $V$ de $Y$ , le premier contenant $x$ et le second contenant $y$ .
Mais alors, $U\cap X$ et $V\cap X$ sont des ouverts disjoints de $X$ (ce sont des ouverts car, par définition de sous-espace topologique, $X$ est muni de la topologie induite), le premier contenant $x$ et le second contenant $y$ .

D’où $X$ est séparé.

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