Théorème de l’étoile de David

Énoncé

Soient $n \in \mathbb{N}_{\geqslant 2}$ et $k \in [\![1,n-1]\!]$

Le théorème de l’étoile de David regroupe les deux identités suivantes :

• Première identité : $\mathrm{pgcd} \left( \binom{n-1}{k}, \binom{n}{k-1},\binom{n+1}{k+1} \right) = \mathrm{pgcd} \left(\binom{n-1}{k-1},\binom{n}{k+1},\binom{n+1}{k}\right)$
• Deuxième identié : $\binom{n-1}{k} \binom{n}{k-1}\binom{n+1}{k+1} = \binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k+1}\binom{n+1}{k}$

Visualiation du théorème

Voici une représentation visuelle du triangle de Pascal sur laquelle on a fait apparaître une étoile qui évoque l’étoile de David (d’où le nom du théorème). Les nombres situés sur chacune des branches de cette étoile sont les coefficients binomiaux apparaissant dans les deux identités du théorème.

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La première identité nous dit que $\textcolor{green}{\mathrm{pgcd}(28 , 126, 120)} = \textcolor{red}{\mathrm{pgcd} (36, 56, 210)}$
et la deuxième identité nous dit que $\textcolor{green}{28 \times 126 \times 120} = \textcolor{red}{36 \times 56 \times 210}$
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Preuve du théorème

Soient $n \in \mathbb{N}_{\geqslant 2}$ et $k \in [\![1,n-1]\!]$

Identité n°1 - Égalité des PGCD

On suit la preuve proposée par Hitotumatu et Sato
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On pose $X = \left( \binom{n-1}{k}, \binom{n}{k-1},\binom{n+1}{k+1} \right)$ et $Y = \left(\binom{n-1}{k-1},\binom{n}{k+1},\binom{n+1}{k}\right)$.
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$\textbf{1.1)}$ Déterminer deux matrices $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_{n}(\Z)$ telles que $Y = AX$ et $X = BY$. (Leurs coefficients dépendent de $n$ et de $k$)
$\textbf{1.2)}$ En déduire que $\mathrm{pgcd}(X) = \mathrm{pgcd}(Y)$
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Identité n°2 - Égalité des produits

On souhaite démontrer la deuxième identité à l’aide de deux méthodes différentes.
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$\textbf{2.1)}$ Démontrer cette identité en utilisant la formule avec les factorielles des coefficients binomiaux.
$\textbf{2.2)}$ Démontrer cette identité à l’aide d’un raisonnement par double comptage.