Théorème des deux carrés de Fermat

Un carré est congru à $0$ ou $1$ modulo $4$, donc $a^{2}+b^{2}\in\{0,1,2\}\pmod 4$. Un premier impair somme de deux carrés vérifie donc $p\equiv 1\ [4]$.

Condition suffisante : $-1$ est un carré modulo $p$
Supposons $p\equiv 1\ [4]$. Le théorème de Wilson donne $(p-1)!\equiv -1\pmod p$. En regroupant $k$ et $p-k\equiv -k$ pour $1\leqslant k\leqslant\frac{p-1}{2}$ :
$$-1\equiv(p-1)!\equiv\prod_{k=1}^{(p-1)/2}\bigl(-k^{2}\bigr)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\Bigl(\bigl(\tfrac{p-1}{2}\bigr)!\Bigr)^{2}\equiv m^{2}\pmod p,$$avec $m=\bigl(\frac{p-1}{2}\bigr)!$, puisque $\frac{p-1}{2}$ est pair.

Posons $k=\lfloor\sqrt p\rfloor$, de sorte que $k<\sqrt p<k+1$, l’entier $p$ n’étant pas un carré. Les $(k+1)^{2}>p$ nombres $x-my$ pour $0\leqslant x,y\leqslant k$ ne peuvent être deux à deux distincts modulo $p$ : il existe $(x,y)\neq(x',y')$ avec $x-my\equiv x'-my'$. En posant $a=x-x'$ et $b=y-y'$, non tous deux nuls, on a
$$|a|,|b|\leqslant k<\sqrt p\qquad\text{et}\qquad a\equiv mb\pmod p .$$Alors $a^{2}\equiv m^{2}b^{2}\equiv -b^{2}$, donc $p\mid a^{2}+b^{2}$, avec $0<a^{2}+b^{2}<2p$. D’où
$$p=a^{2}+b^{2}. \qquad\blacksquare$$

Remarque : Le résultat admet une preuve en une phrase, due à Don Zagier : l’involution $(x, y, z) \longmapsto \begin{cases}(x+2 z, z, y-x-z) & \text { si } x<y-z \\ (2 y-x, y, x-y+z) & \text { si } y-z<x<2 y, \\ (x-2 y, x-y+z, y) & \text { si } x>2 y .\end{cases}$ sur les solutions de $x^{2}+4yz=p$ a un unique point fixe, donc le cardinal est impair, et l’involution $(x,y,z)\mapsto(x,z,y)$ a alors un point fixe, qui fournit $p=x^{2}+(2y)^{2}$.