Toute rotation infinitésimale est un produit vectoriel

Soit $A$ une matrice réelle $3\times 3$ telle que les vecteurs $Au$ et $u$ soient orthogonaux pour tout vecteur colonne $u\in\mathbb{R}^{3}$ . Montrer que :

$A^{\top}=-A$ , où $A^{\top}$ désigne la transposée de $A$ ;
il existe un vecteur $v\in\mathbb{R}^{3}$ tel que $Au=v\wedge u$ pour tout $u\in\mathbb{R}^{3}$ , où $v\wedge u$ désigne le produit vectoriel dans $\mathbb{R}^{3}$ .

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Posons $A=(a_{ij})$ et $u=(u_1,u_2,u_3)^{\top}$ . La condition d’orthogonalité s’écrit
$\langle Au,u\rangle=0.$ En l’appliquant à $u_i=\delta_{ik}$ , on obtient $a_{kk}=0$ . En l’appliquant à $u_i=\delta_{ik}+\delta_{im}$ , on obtient
$a_{kk}+a_{km}+a_{mk}+a_{mm}=0,$ d’où $a_{km}=-a_{mk}$ .
Posons $v_1=-a_{23}$ , $v_2=a_{13}$ , $v_3=-a_{12}$ . Alors
$Au=\bigl(v_2u_3-v_3u_2,\ v_3u_1-v_1u_3,\ v_1u_2-v_2u_1\bigr)^{\top}=v\wedge u.$

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