Trace d'une transconjuguée

Trace d’une transconjuguée

Pour une matrice $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\C)$ , on note $A^{*}$ la matrice adjointe de $A$ définie par $A^{*} = \bar{A}^{T}$ où l’on conjugue tous les coefficients puis on transpose. On appelle parfois l’opération $*$ la transconjuguée.
$\newline$
Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\R)$ . Montrer que $\mathrm{tr}(A^{*}) = \overline{\mathrm{tr}(A)}$

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Solution by darktoaster

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En une phrase : on ne change pas la diagonale d’une matrice en la transposant, donc le calcul de la trace de la transconjuguée se ramène à conjuguer la trace.
$\newline$
Soit $i \in [\![1,n]\!]$
$[A^{*}]_{i,i} = [\overline {A}]_{i,i} = \overline{[A]_{i,i}}$
Les coefficients $A$ et $A^{*}$ sont conjugués.
$\newline$
D’où $\mathrm{tr}(A^{*}) = \sum\limits_{i = 1}^n [A^{*}]_{i,i} = \sum\limits_{i = 1}^n \overline{[A]_{i,i}} = \overline{ \sum\limits_{i=1}^n [A]_{i,i}} = \overline{\mathrm{tr}(A)}$

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