Un anneau unique pour les contenir toutes

On a la relation $\displaystyle X^{n}-1=\prod_{d\mid n}\Phi_{d}$ dans $\mathbb{Z}[X]$ que l’on peut étendre à $L[X]$ (via le morphisme d’anneaux canonique $\mathbb{Z}\to L$ puis par la propriété universelle des anneaux de polynômes). Soit $\zeta\in L$ une racine de $\Phi_{n}$ alors $\zeta^{n}=1.$ On note $m$ son ordre dans $(L^{\times},\times)$. Il vérifie a $m\mid n$ puisque $\zeta^{n}=1$. On a alors
$$\zeta^{m}-1=0=\prod_{d\mid m}\Phi_{d}(\zeta)$$donc, par intégrité de $L,$ $\zeta$ est racine d’un $\Phi_{d}$ pour un certain $d\mid m.$ Par ailleurs, $(X^{n}-1)'=nX^{n-1}$. Ainsi, les polynômes $X^{n}-1$ et $nX^{n-1}$ n’ont aucune racine en commun car $n\neq 0.$ Les racines de $X^{n}-1$ sont simples donc $m=n$, i.e. $\zeta$ est d’ordre $n.$ Ceci prouve plus généralement que tout élément d’ordre $n$ dans $L^{\times}$ est racine de $\Phi_{n}.$
Soit $1\leqslant k<\ell<n$ premiers avec $n$. L’élément $\zeta^{k}$ est alors d’ordre $\mathrm{pgcd}(k,\mathrm{ord}(\zeta))=n$ et $\zeta^{k}\neq \zeta^{\ell}$ car sinon on aurait $\zeta^{\ell-k}=1$ ce qui contredit le fait que $\zeta$ est d’ordre $n.$ Ceci prouve que $f_{\zeta}\colon k\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\mapsto \zeta^{k}\in\mu_{n}'(L)$ est injective et bien définie (le fait qu’elle ne dépende pas de la classe se prouve très facilement à la main ou en utilisant la propriété universelle du quotient à $k\in\mathbb{Z}\mapsto \zeta^{k}\in L^{\times}$). Ceci prouve que
$$\mathrm{Card}((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times})=\varphi(n)\leqslant\mu_{n}'(L)\leqslant\mathrm{Card}(\Phi_{n}^{-1}(\set{0})).$$Mais $\Phi_{n}$ est de degré $\varphi({n})$ donc ce ne sont que des égalités. L’application $f_{\zeta}$ est alors bijective ce qui prouve que l’action naturelle $(k,\zeta)\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\times \mu_{n}'(L)\mapsto \zeta^{k}\in \mu_{n}'(L)$ est simplement transitive.