Un carré découpé en deux rectangles

Soient un segment $[AB]$ et un point $C$ positionné de façon quelconque sur ce segment.

Montrer que l’aire du carré de côté $AB$ est égale à la somme des aires des deux rectangles construits sur $[AB]$ et $[AC]$ d’une part, et $[AB]$ et $[CB]$ d’autre part.
Si on pose $AB=a$ et $AC=b$ , écrire la relation algébrique liant a et b, et reproduisant la relation géométrique du point 1.

Une figure désignée par ses sommets, par exemple $ABCD$ , désigne la figure elle-même ; $[ABCD]$ désigne son aire.
La seconde question est une interprétation « moderne », algébrique, de cette proposition des Eléments d’Euclide qui, à l’origine, était exprimée de façon purement géométrique. Cette interprétation est à l’origine de la dénomination "algèbre géométrique" souvent utilisée pour parler du livre 2 des Eléments d’Euclide, signifiant par là que des nombres liés par une relation algébrique entretiennent aussi entre eux des relations "géométriques".

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Euclide — Éléments

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Livre 2 - Proposition 2

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Solution by goldfinch

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1 Construire d’abord sur $[AB]$ un carré $ABDE$ de côté $AB$ , ceci en traçant d’abord la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $B$ , puis en positionnant le point D à l’intersection de cette perpendiculaire, tel que $BD=AB$ (pour cette construction, voir le problème Construction d’un carré sur un segment)

Positionner ensuite le point F à l’intersection de la parallèle à $(AB)$ passant par $D$ et de la parallèle à $(DB)$ passant par $C$ (pour la construction de ces parallèles, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée).

Le rectangle $ACFE$ est bien un rectangle construit sur $[AB]$ et $[AC]$ étant donné que $AE=AB$ par définition du carré. De même $CBDF$ est bien un rectangle construit sur $[AB]$ et $[CB]$ étant donné que $CF=AB$ par construction.

Ainsi, l’aire du carré $ABDE$ , de côté $AB$ , est bien la somme des aires des deux rectangles $ACFE$ et $CBDF$ , construits respectivement sur $[AB]$ et $[AC]$ , et sur $[AB]$ et $[CB]$ , soit :

                                                                $\bf [ABDE]=[ACFE]+[CBDF]$                     (1)

Ce qu’il fallait démontrer.

La relation algébrique équivalente est : $\bf a^{2}=a\times {b}+a\times {(a-b)}$

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