Un carré découpé en deux rectangles

1 Construire d’abord sur $[AB]$ un carré $ABDE$ de côté $AB$, ceci en traçant d’abord la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $B$, puis en positionnant le point D à l’intersection de cette perpendiculaire, tel que $BD=AB$ (pour cette construction, voir le problème Construction d’un carré sur un segment)

Positionner ensuite le point F à l’intersection de la parallèle à $(AB)$ passant par $D$ et de la parallèle à $(DB)$ passant par $C$ (pour la construction de ces parallèles, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée).

Le rectangle $ACFE$ est bien un rectangle construit sur $[AB]$ et $[AC]$ étant donné que $AE=AB$ par définition du carré. De même $CBDF$ est bien un rectangle construit sur $[AB]$ et $[CB]$ étant donné que $CF=AB$ par construction.

Ainsi, l’aire du carré $ABDE$, de côté $AB$, est bien la somme des aires des deux rectangles $ACFE$ et $CBDF$, construits respectivement sur $[AB]$ et $[AC]$, et sur $[AB]$ et $[CB]$, soit :

                                                               $\bf [ABDE]=[ACFE]+[CBDF]$                    (1)

Ce qu’il fallait démontrer.

2. La relation algébrique équivalente est : $\bf a^{2}=a\times {b}+a\times {(a-b)}$