Un carré pour compléter un rectangle

Soient un segment $[AB]$ , le point $C$ milieu de $AB$ et $D$ un point quelconque sur $[CB]$ .

Montrer que la somme des aires d’un rectangle de côtés $AD$ et $DB$ , et d’un carré de côté $CD$ , est égale à l’aire d’un carré de côté $AC$ .
Si on pose $AC=a$ et $CD=b$ , écrire l’identité remarquable algébrique liant a et b, et reproduisant la relation géométrique démontrée précédemment.

Une figure désignée par ses sommets, par exemple $ABCD$ , désigne la figure elle-même ; $[ABCD]$ désigne son aire.
La seconde question est une interprétation « moderne », algébrique, de cette proposition des Eléments d’Euclide qui, à l’origine, était exprimée de façon purement géométrique. Cette interprétation est à l’origine de la dénomination "algèbre géométrique" souvent utilisée pour parler du livre 2 des Eléments d’Euclide, signifiant par là que des nombres liés par une relation algébrique entretiennent aussi entre eux des relations "géométriques".

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Euclide — Éléments

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Livre 2 - Proposition 5

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Solution by goldfinch

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Construire sur $[CB]$ le carré $CBFE$ (pour cette construction, voir le problème Construction d’un carré sur un segment).
Construire le point $G$ , intersection de $(EF)$ avec la parallèle à $(BF)$ passant par $D$ .
Construire le point $H$ , intersection de $(GD)$ avec la diagonale $(EB)$ .
Construire les points $I$ et $K$ , intersections de la droite parallèle à $(CB)$ avec respectivement $(BF)$ et $(CE)$ .
Construire le point $L$ , intersection de $(KI)$ avec la parallèle à $(BF)$ passant par A.
(Pour la construction de toutes ces parallèles, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée).

Dans cette configuration, nous pouvons prouver que $DBIH$ et $KHGE$ sont des carrés de côtés $DB$ et $CD$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une identité remarquable cachée dans un carré). Une conséquence est que : $\bf DH=DB$ (1) et $KH=HG$ .

Avec (1), nous pouvons dire que par construction $ADHL$ est un rectangle $ADHL$ de côtés $AD$ et $DB$ .

$\textbf {Ce qu’il faut montrer est donc que :}$ $\bf [ADHL]+[KHGE]=[CBFE]$

Partons de l’égalité des deux rectangles construits sur des bases de même longueur et construits entre les mêmes parallèles (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux parallélogrammes : bases de même longueur, même aire), soit : $\bf [ACKL]=[CBIK]$ (2)

Par ailleurs, les deux rectangles $CDHK$ et $HIFG$ sont « complémentaires » relativement à H sur la diagonale $(BD)$ , donc leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Même aire pour des parallélogrammes « complémentaires »), soit : $\bf [CDHK]=[HIFG]$ (3)

Si on ajoute aux deux termes de l’égalité (3) l’aire du carré $DBIH$ , on obtient : $[CDHK]+ [DBIH] =[HIFG]+ [DBIH]$ , donc : $\bf [CBIK] = [DBFG]$ (4)

En couplant (2) et (4) on obtient $\bf [DBFG]=[ACKL]$ (5)

Si on ajoute aux deux termes de l’égalité (5) l’aire du carré $[CDHK]$ , on obtient : $[CDHK]+ [DBFG] =[ACKL]+ [CDHK]$ , donc : $\bf [CDHK]+ [DBFG] =[ADHL]$ (6)

Si, enfin, on ajoute aux deux termes de l’égalité (6) l’aire du carré $KHGE$ , on obtient : $[CDHK]+ [DBFG]+[KHGE] =[ADHL]+ [KHGE]$ , donc : $\bf [CBFE] =[ADHL]+ [KHGE]$ (7)

Ce qu’il fallait démontrer

Si on pose $AC=a$ et $CD=b$ , la relation (7) devient : $(a+b)\times (a-b)+b^2=a^2$ , ou encore : $\bf (a+b)\times (a-b)=a^2-b^2$

La relation (1) exprime donc bien une identité algébrique remarquable de manière géométrique.

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