Un cercle est une variété topologique

On considère le cercle unité $S^{1}$ de $\R^{2}$ centré en $(0,0)$ muni de la topologie induite. Il s’agit donc d’un espace topologique.

Reste à montrer les 3 propriétés de variété topologique :

1. Il est séparé : comme la topologie standard de $\R^{2}$ est séparée, alors la topologie induite sur le cercle également.
2. Il est à base dénombrable : comme la topologie standard de $\R^{2}$ est à base dénombrable, alors la topologie induite sur le cercle également.
3. Il est localement euclidien : c’est le point le moins évident.

Sans perte de généralité, faisons le raisonnement pour le point $(1,0)$. On va considérer l’ouvert
$$U=\{(x,y)\in S^{1}\mid x>0\}.$$(C’est un ouvert de $S^{1}$ dans la topologie induite, puisqu’il est l’intersection du demi-plan $x>0$ avec le cercle).
$U$ est homéomorphe à un ouvert de $\R$, par exemple, $]-\pi/2,\pi/2[$.

Vérification

On pose l’application $\psi:\;]-\pi/2,\pi/2[\to U$ qui à $\theta$ associe $\psi(\theta)=(\cos(\theta),\sin(\theta))$.
C’est une application continue et bijective sur $U$. Un point délicat est de montrer que sa réciproque est bien continue : c’est l’application qui à un point du cercle associe un angle dans $]-\pi/2,\pi/2[$. Ici, il n’y a pas de problème car on ne s’autorise pas de tour complet : l’angle ne peut pas brutalement sauter.

Maintenant, pour un point quelconque du cercle, on peut toujours effectuer la rotation envoyant ce point sur $(1,0)$ ; cette rotation est un homéomorphisme du cercle, et donc ce point admet lui aussi un voisinage homéomorphe à un ouvert de $\R$.

Ainsi, le cercle unité est bien une variété topologique de dimension $1$. On se ramène à n’importe quel cercle en remarquant que les homothéties sont des homéomorphismes...