Un exemple d'isotopie ?

On considère les applications
$f_0:S^1\longrightarrow\mathbb R^2, \qquad f_0(x)=x,$ et
$f_1:S^1\longrightarrow\mathbb R^2, \qquad f_1(x)=0.$

On définit
$H:S^1\times[0,1]\longrightarrow\mathbb R^2, \qquad H(x,t)=(1-t)x.$

Montrer que $H$ est une homotopie entre $f_0$ et $f_1$ .

Cette homotopie est-elle une isotopie ?

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Solution by Ancient Tree

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$H$ est une homotopie, puisqu’elle est continue, vérifie $H(x,0)=x=f_{0}(x)$ et $H(x,1)=0=f_{1}(x)$ .
Mais $H$ n’est pas une isotopie. En effet : pour tout $t\neq 1$ , $x\mapsto H(t,x)$ est bien un plongement (ce qui se traduit par le fait que le cercle est plongé dans le plan, sans compression). En revanche, à $t=1$ , $x\mapsto H(1,x)$ n’est pas un plongement, puisque non injective.

Autrement dit : l’homotopie contracte progressivement le cercle jusqu’à un point ; et c’est à ce moment que tout le cercle s’écrase en un unique point que l’on cesse d’avoir un plongement.

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