Isotopie

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Intuition

Une isotopie décrit une déformation continue d’un plongement dans un autre, de telle façon à ce qu’à chaque étape intermédiaire, on a toujours un plongement.

Définition formelle

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques, et $f_0,f_1\colon X\to Y$ deux plongements.

Une isotopie entre $f_0$ et $f_1$ est une homotopie
$F\colon X\times[0,1]\longrightarrow Y$ entre $f_0$ et $f_1$ , telle que, pour tout $t\in[0,1]$ , l’application
$F_t\colon X\longrightarrow Y,\qquad x\longmapsto F(x,t)$ est un plongement.

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On considère les applications
$f_0:S^1\longrightarrow\mathbb R^2, \qquad f_0(x)=x,$ et
$f_1:S^1\longrightarrow\mathbb R^2, \qquad f_1(x)=0.$

On définit
$H:S^1\times[0,1]\longrightarrow\mathbb R^2, \qquad H(x,t)=(1-t)x.$

Montrer que $H$ est une homotopie entre $f_0$ et $f_1$ .

Cette homotopie est-elle une isotopie ?

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