Un rectangle contient un carré

Soient un segment $[AB]$ et un point $C$ positionné de façon quelconque sur ce segment.

Montrer que l’aire du rectangle construit sur $[AB]$ et $[CB]$ est égale à la somme des aires d’un carré construit sur $[CB]$ et d’un rectangle construit sur $[AC]$ et $[CB]$ .

NB : Une figure désignée par ses sommets, par exemple $ABCD$ , désigne la figure elle-même ; $[ABCD]$ désigne son aire.

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Euclide — Éléments

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Livre II - Proposition 3

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Solution by goldfinch

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NB : dans un souci de clarté, seuls les traits principaux ont été conservés à chaque étape sur la figure ci-dessous.

Construire d’abord sur $[CB]$ un carré $CBDE$ de côté $CB$ , donc avec $BD=CE=CB$ (pour cette construction, voir le problème Construction d’un carré sur un segment).

Positionner ensuite le point $F$ à l’intersection de $(ED)$ avec la parallèle à $(CE)$ passant par $A$ (pour la construction de cette parallèle, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).

Le rectangle $ACEF$ est bien un rectangle car il possède 4 angles droits et ses côtés opposés sont parallèles par construction, et il est bien construit sur $[AC]$ et $[CB]$ étant donné que $CE=CB$ , par définition du carré.

L’aire du grand rectangle $ABDF$ , construit sur $[AB]$ et $[CB]$ est ainsi bien égale à la somme des aires du carré de côté $CB$ et du petit rectangle $ACEF$ construit sur $[AC]$ et $[CB]$ , soit :
$\bf [ABDF]=[CBDE]+[ACEF]$
Ce qu’il fallait démontrer.

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