Un rectangle qui contient un carré

Soient un segment $[AB]$ et un point $C$ positionné de façon quelconque sur ce segment.

Montrer que l’aire du rectangle construit sur $[AB]$ et $[CB]$ est égale à la somme des aires d’un carré construit sur $[CB]$ et d’un rectangle construit sur $[AC]$ et $[CB]$ .
Si on pose $AC=x$ et $CB=y$ , écrire la relation algébrique liant x et y, et reproduisant la relation géométrique du point 1.

Une figure désignée par ses sommets, par exemple $ABCD$ , désigne la figure elle-même ; $[ABCD]$ désigne son aire.
La seconde question est une interprétation « moderne », algébrique, de cette proposition des Eléments d’Euclide qui, à l’origine, était exprimée de façon purement géométrique. Cette interprétation est à l’origine de la dénomination "algèbre géométrique" souvent utilisée pour parler du livre 2 des Eléments d’Euclide, signifiant par là que des nombres liés par une relation algébrique entretiennent aussi entre eux des relations "géométriques".

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Euclide — Éléments

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Livre 2 - Proposition 3

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Solution by goldfinch

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Construire d’abord sur $[CB]$ un carré $CBFD$ de côté $CB$ (pour cette construction, voir le problème Construction d’un carré sur un segment).

Positionner ensuite le point E à l’intersection de la parallèle à $(CD)$ passant par $A$ et de $(DF)$ (pour la construction de cette parallèle, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée).

Le rectangle $ACDE$ est bien un rectangle construit sur $[AC]$ et $[CB]$ étant donné que $CD=CB$ , par définition du carré.

L’aire du rectangle $ABFE$ , construit sur $[AB]$ et $[CB]$ est bien égale à la somme des aires du carré de côté $CB$ et du rectangle $ACDE$ construit sur $[AC]$ et $[CB]$ , soit :

                                                                               $\bf [ABFE]=[CBFD]+[ACDE]$                     (1)

Ce qu’il fallait démontrer.

La relation algébrique équivalente est : $\bf (x+y)\times {y}=x\times {y}+y^{2}$

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