Un rectangle qui contient un carré

1. Construire d’abord sur $[CB]$ un carré $CBFD$ de côté $CB$ (pour cette construction, voir le problème Construction d’un carré sur un segment).

Positionner ensuite le point E à l’intersection de la parallèle à $(CD)$ passant par $A$ et de $(DF)$ (pour la construction de cette parallèle, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée).

Le rectangle $ACDE$ est bien un rectangle construit sur $[AC]$ et $[CB]$ étant donné que $CD=CB$, par définition du carré.

L’aire du rectangle $ABFE$, construit sur $[AB]$ et $[CB]$ est bien égale à la somme des aires du carré de côté $CB$ et du rectangle $ACDE$ construit sur $[AC]$ et $[CB]$, soit :

                                                                              $\bf [ABFE]=[CBFD]+[ACDE]$                    (1)

Ce qu’il fallait démontrer.

2. La relation algébrique équivalente est : $\bf (x+y)\times {y}=x\times {y}+y^{2}$