Un triangle avec deux angles égaux...et les côtés ?

Il faut montrer que les deux côtés $AB$ et $AC$ sont égaux (condition du triangle isocèle en $A$).
Faisons un raisonnement par l’absurde : supposons que les deux côtés ne soient pas égaux et que par exemple $AB$ est plus grand que $AC$.

Si $AB$ est plus grand que $AC$, on peut construire un point $D$ sur $AB$ tel que $DB=AC$ (pour le démontrer, voir le problème "Comment reporter une longueur sur un segment".

Raisonnons maintenant sur les deux triangles $DBC$ et $ABC$. Ces deux triangles, par définition, ont un de leurs angles qui est identique : $\widehat{DBC}=\widehat{ACB}$. Par ailleurs les deux côtés correspondant à ces deux angles sont égaux 2 à 2 : $DB=AC$ par comme vu ci-dessus et même base $BC$. Il en découle que les deux triangles $DBC$ et $ABC$ sont égaux (pour démontrer ce point, voir le problème "Deux côtés avec leur angle suffisent-ils pour le triangle ?").

Ces deux triangles ne peuvent être égaux vu que l’un est inscrit dans l’autre par construction
Donc, les deux côtés $AB$ et $AC$ ne peuvent être de longueur différente : $AB=AC$ , et donc le triangle est isocèle en A