Un triangle vu de l’intérieur

Soit E le point d' intersection de la droite $(BD)$ et de la droite $(AC)$.

1. On peut montrer d’abord que la somme des longueurs $BA$ et $EA$ est plus grande que la longueur $BE$ (pour la démonstration de ce point, voir problème Une propriété de la somme des longueurs de deux côtés d’un triangle) : $BA+EA>BE$
   Ajoutons à chaque membre de cette inégalité la longueur $CE$. Nous otenons une nouvelle inégalité $BA+EA+CE>BE+CE$ ou encore $\bf BA+CA>BE+CE$ (1).

Effectuons le même raisonnement pour le triangle CDE. La somme des deux côtés $DE$ et $CE$ est plus grande que le côté $CD$ , soit $DE+CE>CD$.
Ajoutons à chaque membre de cette inégalité la longueur $BD$ : $DE+CE+BD>CD+BD$ ou encore $\bf BE+CE>CD+BD$ (2)

En couplant les deux inégalités (1) et (2) nous en déduisons que $\bf BA+CA>CD+BD$ ce qui constitue le premier point à démontrer.

2. Considérons le triangle $CDE$. Nous pouvons montrer que l’angle $\widehat {BDC}$ extérieur à ce triangle a une mesure plus grande que l’angle opposé intérieur $\widehat {CED}$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Relation entre les angles intérieurs et extérieurs d’un triangle) :
   $\bf \widehat {BDC}>\widehat {CED}$ (3)

Par ailleurs, si nous considérons maintenant le triangle $ABE$, nous pouvons montrer de la même façon que l’angle $\widehat {CED}$ , extérieur à ce triangle, est plus grand que l’angle opposé intérieur $\widehat {BAE}$ , soit
$\bf \widehat {CED}>\widehat {BAE}$ (4)

En couplant les deux inégalités (3) et (4), nous en déduisons que $\bf \widehat {BDC}>\widehat {BAE}$, ce qui constitue le second point à démontrer.