Une alternance qui prend son temps

Si $\alpha=0$ la série diverge grossièrement et si $\alpha\geqslant2$ alors elle converge absolument par le critère de Riemann. Il ne nous reste plus qu’à étudier le cas $\alpha=1.$ Supposons par l’absurde que la série converge et notons $S_N$ sa $N$-ème somme partielle. On remarque que, par croissance de la partie entière et stricte croissance de $\ln$ et $\exp$, on a
$$\lfloor\ln(n)\rfloor=k \Leftrightarrow k\leq \ln(n)<k+1 \Leftrightarrow e^k\leq n<e^{k+1} \Leftrightarrow \left\lfloor e^k\right\rfloor\leq n\leq \left\lfloor e^{k+1}\right\rfloor$$la dernière inégalité provenant du fait que $e$ est transcendant donc $e^{k+1}$ ne peut être entier sans quoi $e$ serait racine d’un certain $X^{k+1}-a\in\mathbb{Z}[X].$ On décompose alors la somme partielle $S_{\left\lfloor e^N\right\rfloor}$ par paquets ce qui donne
$$S_{\left\lfloor e^N\right\rfloor} =1+\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{n=\left\lfloor e^k\right\rfloor+1}^{\left\lfloor e^{k+1}\right\rfloor}\dfrac{(-1)^k}{n} =\sum_{k=0}^{N-1}(-1)^k\sum_{n=\left\lfloor e^k\right\rfloor}^{\left\lfloor e^{k+1}\right\rfloor-1}\dfrac{1}{n}.$$Grâce au développement asymptotique de la série harmonique définie par ses sommes partielles $\displaystyle H_m=\sum_{n=1}^m\dfrac{1}{n}=\ln(n)+\gamma+o(1)$ on a
$$\sum_{n=\left\lfloor e^k\right\rfloor}^{\left\lfloor e^{k+1}\right\rfloor-1}\dfrac{1}{n} =H_{\left\lfloor e^{k+1}\right\rfloor}-H_{\left\lfloor e^k\right\rfloor} =\ln\left(\left\lfloor e^{k+1}\right\rfloor\right)-\ln\left(\left\lfloor e^k\right\rfloor\right)+o(1) =\ln\left(\dfrac{\left\lfloor e^{k+1}\right\rfloor}{\left\lfloor e^k\right\rfloor}\right)+o(1)$$or par l’inégalité $e^k-1< \left\lfloor e^k\right\rfloor\leqslant e^k$, en divisant par $e^k$ et en prenant la limite on a $\left\lfloor e^k\right\rfloor\sim e^k$ donc $\dfrac{\left\lfloor e^{k+1}\right\rfloor}{\left\lfloor e^k\right\rfloor}\sim e$ ou encore $\dfrac{\left\lfloor e^{k+1}\right\rfloor}{\left\lfloor e^k\right\rfloor}=e+o(1).$ On a alors
$$\sum_{n=\left\lfloor e^k\right\rfloor}^{\left\lfloor e^{k+1}\right\rfloor-1}\dfrac{1}{n} =\ln(e+o(1))+o(1)=1+o(1).$$La convergence de la série $\displaystyle\sum_{n\geqslant 0}\dfrac{(-1)^{\left\lfloor\ln(n)\right\rfloor}}{n}$ entraîne donc la convergence de la série $\displaystyle\sum_{k\geqslant 1} (-1)^ku_k$ où
$u_k=\displaystyle\sum_{n=\left\lfloor e^k\right\rfloor}^{\left\lfloor e^{k+1}\right\rfloor-1}\dfrac1n$.
Ceci est absurde car cette dernière série est grossièrement divergente car son terme général n’a pas de limite.