Une droite placée sur une autre... et les angles ?

Deux cas sont à distinguer : le cas où $(AB)$ est perpendiculaire à $(CD)$ et le cas où $(AB)$ n’est pas perpendiculaire à $(CD)$

Si $(AB)$ est perpendiculaire à $(CD)$, par définition de l’angle droit, les deux angles $\widehat {CBA}$ et $\widehat {ABD}$ sont égaux et droits, et donc le fait que la somme est égale à deux angles droits est bien vérifiée.

Si $(AB)$ n’est pas perpendiculaire à $(CD)$, tracer la droite $(BE)$ perpendiculaire à $(CD)$ (pour cette construction, voir le problème Comment élever une perpendiculaire en un point d’une droite ?).
NB : les différents éléments de la construction de la perpendiculaire ont été laissés en arrière-plan de la figure.

Par définition d’une perpendiculaire, les angles $\widehat {CBE}$ et $\widehat {DBE}$ sont droits.

Or l’angle plat $\widehat {CBD}$ est constitué à la fois de la somme des angles $\widehat {CBA}$ et $\widehat {DBA}$ , et de la somme des angles $\widehat {CBE}$ et $\widehat {DBE}$ , donc la somme de $\widehat {CBA}$ et $\widehat {DBA}$ est bien égale à la somme de deux angles droits