Comment élever une perpendiculaire en un point d'une droite ?

Soit une droite $(AB)$ contenant un point $C$ .

Proposer à la règle et au compas collapsible une méthode de construction d’une droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1, proposition 11

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Solution by goldfinch

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Positionner un point $D$ quelconque entre $A$ et $C$ , puis tracer le cercle de centre $C$ et de rayon $CD$ et construire le point $E$ , intersection entre le cercle et $(AB)$ .
Nous avons donc $DC=CE$ (1)

Construire ensuite le point $F$ au-dessus de $(AB)$ tel que $DFE$ soit un triangle équilatéral (pour cette construction, voir le problème Méthode pour construire un triangle équilatéral )

Les deux triangles $DFC$ et $CFE$ ont leurs trois côtés égaux un à un : le côté $CF$ est commun aux deux, ensuite $DC=CE$ par (1), enfin $DF=FE$ par construction du triangle équilatéral .

Deux triangles ayant trois côtés égaux un à un ont aussi leurs angles égaux un à un (pour la démonstration de ce point, voir le problème Trois côtés suffisent-ils pour définir le triangle ?)

En particulier, les deux angles en C sont égaux : $\widehat {DCF}=\widehat {FCE}$ . Or, la définition d’ un angle droiten géométrie euclidienne correspond justement à la situation où quand deux lignes droites se croisent, les angles de part et d’autre sont égaux .

Donc la droite $(CF)$ est bien la perpendiculaire à $(AB)$ en $C$ .

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