Une enquête mathématique sur la proportionnalité

Dans les situations qui suivent, certaines choses vont changer, parfois beaucoup. Pourtant quelque chose restera toujours identique.... Prêts pour l’enquête ?

1. Tambour
Claude et André frappent simultanément sur un tambour. Ils ont convenu de la règle suivante : pendant une séquence, quand Claude frappe $2$ coups, André en frappe $3$. Lorsque Claude aura frappé $26$ coups, combien de coups aura frappé André ? Même question quand Claude aura frappé $42$ coups.
Les couples de coups suivants pour Claude et André peuvent-ils exister avec cette règle : $(10,15), (32, 50), (64, 94), (36, 54), (42, 63)$ ?
Calculer le rapport des deux nombres pour chaque configuration. Qu’est-ce qui caractérise les configurations observant la règle ?
Quelque chose reste constant dans tous ces exemples respectant la règle : c’est le rythme ; c’est un rythme "$2$ coups pour $3$" ici, qui peut être caractérisé par le rapport $2/3$. Et quelque chose change pour chaque configuration : c’est le nombre de séquences.

2. Peinture
Un peintre dispose de peinture jaune et de peinture bleue. Il obtient une dose d’une belle nuance de vert en mélangeant $4$ cuillères de jaune et $5$ de bleu. Il veut une quantité $5$ fois plus importante de peinture verte; combien de cuillères de chaque doit-il mélanger. S’il fabrique les quantités de mélange différentes avec les couples de cuillères suivantes, va-t’il obtenir la même nuance de vert : $(16,20), (48, 60), (56, 72), (84, 105)$.
Calculer le rapport des deux nombres pour chaque configuration. Qu’est-ce qui caractérise les configurations observant la règle ?
Quelque chose est resté constant dans toutes ces préparations : le dosage ("$4$ cuillères pour $5$"), qui petu être caractérisé par le rappport $4/5$. Et quelque chose change pour chaque configuration : c’est le nombre de doses préparées.

3. Triangles
Dessiner un triangle rectangle $ABC$, rectangle en $B$ pour lequel $AB=7$ et $BC=4$. Nous voulons agrandir ce triangle tout en lui conservant sa forme. Si l’on veut un triangle 8 fois plus grand que le triangle initial, quelles longueurs doit-on choisir ? Choisir parmi les configurations de côtés $AB,BC$ celles qui conservent la forme du triangle initial : $(7,8), (9,4), (15, 12), (49, 28)$.
Calculer le rapport des deux nombres pour chaque configuration. Qu’est-ce qui caractérise les configurations observant la règle ?
Le "quelque chose" qui est resté constant ici est la forme ("$7$ pour $4$"), caractérisé par le rapport $7/4$. Et ce qui change à chaque fois est la taille du triangle.

4. Finalement, tout ça c’est (presque) la même histoire...
Dans les trois situations ci-dessus, quelque chose est resté constant : le rythme ($3$ pour $4$), le dosage ($4$ pour $5$), et la forme ($7$ pour $4$). Et ce qui est resté constant peut être caractérisé par le rapport des deux nombres ($3/4$, $4/5$ et $7/8$). Alors que pour chaque configuration particulière, quelque chose a changé : le nombre de séquences, le nombre de doses, le nombre fois que le triangle de base a été agrandi .

Trouver un (ou plusieurs) autre(s) domaine(s) pour le(s)quel(s) l’histoire à raconter serait de ce type aussi.