Une équation sur la partie entière $2$

$\textbf{1.}$ D’après l’identité remarquable $x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$, on a
$$\left\lfloor x^2+2x+1 \right\rfloor =0 \; \Longleftrightarrow \; \left\lfloor (x+1)^{2}\right\rfloor =0\;\Longleftrightarrow \; (x+1)^2 <1 \; \Longleftrightarrow \; -1 < x+1 <1 \; \Longleftrightarrow \; -2 <x < 0$$L’ensemble des solutions de l’équation est donc $\boxed{\left] -2 ; 0 \right[}$.

$\textbf{2.}$ Observons déjà qu’il n’y a pas de solution positive à l’équation.
Procédons par analyse synthèse.
$\textbf{Analyse}$ : soit $y<0$ solution de l’équation.
Posons $-k:=\left\lfloor y \right\rfloor \leq -1$ et $l:=\left\lfloor y^2 \right\rfloor$. $y$ est solution de l’équation si et seulement si $l=2k-1 \quad (\ast)$. Or, par définition de la partie entière,
$$-k\leq y < -k+1, \quad \text{donc} \quad k^2-2k+1 < y^2 \leq k^2$$Ainsi, on voit que $k^{2}-2k+2\leq 2k-1 \leq k^{2}$, donc d’une part $k^{2}-4k+3\leq 0$ et d’autre part $0 \leq k^{2}-2k+1$.
La dernière inéquation n’apporte rien (puisque $k$ est un entier).
L’inéquation $k^{2}-4k+3\leq 0$ a pour ensemble de solutions $\left\lbrace 1;2;3\right\rbrace$ (puisque $k$ est un entier). Analysons ces trois possibilités en utilisant $(\ast)$ et la définition de $k$ et de $l$.

$\bullet$ $k=l=1$ arrive si et seulement si $-1\leq y <0$ et $1\leq y^{2}<2$.
En élevant la première inéquation au carrée, on voit que ces deux inéquations sont compatibles uniquement lorsque $\underline{y=-1}=-y^{2}$.

$\bullet$ $k=2$, $l=3$ arrive si seulement si $-2 \leq y <-1$ et $3\leq y^{2}<4$.
En élevant la première inéquation au carrée, on voit que ces deux inéquations sont compatibles uniquement lorsque $\underline{-2 <y \leq -\sqrt{3}}$.

$\bullet$ $k=3$, $l=5$ arrive si et seulement $-3\leq y <-2$ et $5\leq y^{2}<6$.
En élevant la première inéquation au carrée, on voit que ces deux inéquations sont compatibles uniquement lorsque $\underline{-\sqrt{6}<y\leq -\sqrt{5}}$.

$\textbf{Synthèse}$ : on vérifie à la main que si $y\in \left]-\sqrt{6}; -\sqrt{5}\right] \cup \left]-2;-\sqrt{3}\right] \cup \left\lbrace -1 \right\rbrace$ alors $y$ est solution de l’équation.

L’ensemble des solutions de l’équation est donc $\boxed{\left]-\sqrt{6}; -\sqrt{5}\right] \cup \left]-2;-\sqrt{3}\right] \cup \left\lbrace -1 \right\rbrace}$.

$\textbf{3.}$ Clairement pas !