Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Une limite à la fois étrange et imposante

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Solution

Solution by mathman · FR

je propose une solution un peu à la Fonzie (https://www.youtube.com/watch?v=o4isQUdVknE) :

d’abord en utisant Stirling :

∑k=1+∞(xk)k∼∑k=1+∞xke−k2πkk!\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{x}{k})^{k}\sim\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^{k}e^{-k}\sqrt{2\pi k}}{k!}

puis en utilisant quelques propriétés de la fonction Γ\Gamma :

k(k−12)!∼k!\sqrt{k}(k-\frac{1}{2})!\sim k! et (k−12)!k!=2k!π22k\displaystyle (k-\frac{1}{2})!k!= \frac{2k!\sqrt{\pi}}{2^{2k}}

on obtient :

∑k=1+∞(xk)k∼∑k=1+∞xke−k2πkk!∼2∑k=1+∞22kxke−kk!2k!\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{x}{k})^{k}\sim\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^{k}e^{-k}\sqrt{2\pi k}}{k!}\sim\sqrt{2}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2^{2k}x^{k}e^{-k}k!}{2k!}

puis en utilisant une autre équivalence (cf Quelques équivalences plaisantes et délectables )

∑k=1+∞(xk)k∼∑k=1+∞xke−k2πkk!∼2∑k=1+∞22kxke−kk!2k!∼2πxeexp⁡(xe)\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{x}{k})^{k}\sim\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^{k}e^{-k}\sqrt{2\pi k}}{k!}\sim\sqrt{2}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2^{2k}x^{k}e^{-k}k!}{2k!}\sim\sqrt{\frac{2\pi x}{e}}\displaystyle\exp(\frac{x}{e})

la limite est donc

exp⁡(1e)\displaystyle\exp(\frac{1}{e})

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  1. · mathman

    Edit without a summary.

SequoiabyFR

Bonjour,
L’idée y est ceci dit cela manque fortement de justification sur les passages aux équivalents. Ce serait bien de développer les raisons qui font qu’on a le droit d’avoir ces équivalents

mathmanbyFR · Edited

Bonsoir Sequoia,
oui je sais bien mais j’annonce la couleur au départ: c’est une solution à la Fonzie.
Et Fonzie il est cool !
Et d’ailleurs, si tu es observateur, on aperçoit parfois (en arrière plan, posé sur le piano; exemple https://www.youtube.com/watch?v=oVqdQYRT05E) le portrait de Fonzie dans les vidéos de Phil Caldero.