Une première définition géométrique de π

La première rencontre que les humains ont fait avec le nombre $\pi$ est certainement lié à l'observation que lorsqu'on divise le périmètre d'un cercle quelconque par son rayon, on obtient toujours le même nombre. (Une mesure pratique consiste à mesurer la longueur déroulée $P$ d'une corde enroulée sur un cercle de rayon $R$) . C'est ce constat qui a certainement induit la première définition géométrique de $π$, soit :
$$π=P/(2\times R)$$

Mais est-on sûr de cette constance quel que soit le cercle considéré ?
Pour cela, considérons deux cercles de rayon quelconque dont les périmètres $P$ sont approchés par des polygones à $n$ côtés de périmètres $P'$ (ici $n=8$ sur la figure), et démontrer que le rapport $P/R$ est constant quel que soit le cercle.