Une première estimation de $\pi$ dans la culture antique égyptienne

Un papyrus égyptien, appelé Rhind, recopié vers l’an 1650 avant notre ère, contient un certain nombre de problèmes mathématiques et calculatoires utiles dans la vie quotidienne. Le problème 48 donne une technique de calcul de la surface d’un disque de diamètre $D$ sous la forme suivante :
"Enlever un neuvième au diamètre, et ensuite multiplier le résultat par lui-même".
Ecrit sous forme moderne, la surface $S_{d}$ d’un disque de diamètre $D$ serait donc :
$S_{d}=\left(D-\frac{D}{9}\right)^2.$

Reconstruisons les origines présumées de cette proposition.

Soit un octogone irrégulier construit, comme dans la figure ci-dessous, dans un grand carré de surface $S_{G}$ dans lequel est inscrit le cercle étudié, ce grand carré étant composé de neuf carrés moyens de surface $S_{M}$ , chacun ayant une surface de 9 unités de surface $S_{U}$ .

Exprimer à la manière des Egyptiens la surface de l’octogone en surfaces unitaires $S_{U}$ .
Remarquant que l’aire de l’octogone était très légèrement inférieure à celle du disque, les Egyptiens ont ensuite ajouté une unité de surface unitaire à cette aire pour estimer l’aire du disque. Combien d’unités de surface obtient-on ainsi ?
Montrer que la technique de calcul proposée dans le payrus est cohérente avec ce calcul de surface par l’approche de l’octogone.
Connaissant la forme moderne de la surface d’un disque, calculer une valeur approchée de $\pi$ par cette approche égyptienne.

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La surface de l’octogone est composée d’un carré moyen central, 4 carrés moyens sur les côtés, plus 4 demi-carrés moyens, pour un total de 7 carrés moyens. Chaque carré moyen étant composé de 9 surfaces unitaires, on en déduit que l’aire de l’octogone est de $9\times 7=63$ unités.
En ajoutant 1, on obtient $63+1=64$ unités de surface.
Il faut se demander ce qu’est une unité de surface par rapport au diamètre du cercle : la relation clé est
$S_{U}=\left(\frac{D}{9}\right)^{2}.$ D’où on obtient, d’après la question 2, que l’aire du disque est d’environ
$64\times S_{U}=\frac{64D^{2}}{81}=\left(\frac{8}{9}D\right)^{2}=\left(D-\frac{D}{9}\right)^{2}$ qui est la formule annoncée.
L’aire d’un disque est donnée par $\pi R^{2}$ où $R$ est le rayon du disque, soit $R=\frac{D}{2}$ ; d’où, sous l’approximation des Égyptiens :
$\pi\left(\frac{D}{2}\right)^{2}=\frac{\pi D^{2}}{4}=\left(D-\frac{D}{9}\right)^{2}$ En simplifiant par $D^{2}$ , puis en isolant $\pi$ , on trouve $\pi=4\times \left(\frac{8}{9}\right)^{2}=\frac{256}{81}\approx 3{,}1605$ . Donc pas tout à fait la bonne valeur de $\pi$ , mais remarquable pour un document qui a été écrit plus d’un millénaire avant les Grecs anciens !

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The area of the octagon is made up of one central medium square, 4 medium squares on the sides, plus 4 half medium squares, for a total of 7 medium squares. Since each medium square is made up of 9 unit areas, we deduce that the area of the octagon is $9\times 7=63$ units.
Adding 1, we obtain $63+1=64$ unit areas.
We need to ask what a unit area is in terms of the diameter of the circle: the key relation is
$S_{U}=\left(\frac{D}{9}\right)^{2}.$ From this we obtain, using question 2, that the area of the disc is approximately
$64\times S_{U}=\frac{64D^{2}}{81}=\left(\frac{8}{9}D\right)^{2}=\left(D-\frac{D}{9}\right)^{2}$ which is the stated formula.
The area of a disc is given by $\pi R^{2}$ , where $R$ is the radius of the disc, so $R=\frac{D}{2}$ ; hence, under the Egyptians' approximation:
$\pi\left(\frac{D}{2}\right)^{2}=\frac{\pi D^{2}}{4}=\left(D-\frac{D}{9}\right)^{2}$ Cancelling $D^{2}$ and then isolating $\pi$ , we find $\pi=4\times \left(\frac{8}{9}\right)^{2}=\frac{256}{81}\approx 3.1605$ . So not quite the right value of $\pi$ , but remarkable for a document written more than a millennium before the ancient Greeks!

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