Une propriété des triangles de même aire avec bases communes

Nous allons utiliser un raisonnement par l’absurde, en supposant que la droite $(AD)$ n’est pas parallèle à $(BC)$.

Dans ce dernier cas, on pourra donc construire une parallèle à $(BC)$ passant par A (pour construire cette parallèle, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée ).
Cette nouvelle droite passera soit au-dessus du point D, soit en dessous. Envisageons les deux cas de figure.

1. $\textbf {La nouvelle droite passe au-dessus de D}$.

On peut positionner un point E sur cette droite parallèle à $(BC)$, qui se trouve à l’intersection entre cette nouvelle droite et $(BD)$.

Considérons les deux triangles $ABC$ et $BCE$. Ils ont une base commune $[BC]$ et ils sont construit entre les mêmes parallèles $(BC)$ et $(AE)$.
Dans cette configuration, nous pouvons montrer que leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux triangles : même base, même aire), soit : $[ABC]=[BCE]$.

Or, par hypothèse, nous avons aussi $[ABC]=[BCD]$, donc on en déduit que $[BCE]=[BCD]$, ce qui est en contradiction avec le fait que l’aire de BCD est une partie de l’aire de BCE.

2. $\textbf {La nouvelle droite passe au-dessus de D}$.

Le raisonnement est exactement le même en construisant un point F à l’intersection entre la nouvelle droite parallèle à $(BC)$ et $(BD)$. On aboutit à une nouvelle contradiction, analogue à celle ci-dessus, avec l’aire de $BFC$ qui ne peut être à la fois égale à celle de $BCD$, et en même temps être une partie de l’aire de $BDC$