Une propriété des triangles de même aire avec bases de même longueur

Soient 2 triangles $ABC$ et $DEF$ qui, d’une part, ont des bases de même longueur $[BC]=[EF]$ , et qui, d’autre part ont la même aire : $[ABC]=[DEF]$ .

Montrer que les droites $(BF)$ et $(AD)$ sont parallèles

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons la notation $[ABC]$ pour noter l’aire d’un triangle $ABC$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 40

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Solution by goldfinch

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Nous allons utiliser un raisonnement par l’absurde, en supposant que la droite $(AD)$ n’est pas parallèle à $(BF)$ .

Dans ce cas, nous pourrons construire une parallèle à $(BF)$ passant par A (pour construire cette parallèle, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée). Cette nouvelle droite passera soit au-dessus du point D ou en dessous du point D. Envisageons les deux cas de figure.

$\textbf {Si la droite passe au-dessus de D}$

Nous pouvons alors positionner un point G sur cette droite, point qui se trouve à l’intersection entre cette nouvelle droite parallèle à $(BF)$ et $(ED)$ .

Considérons maintenant les deux triangles $ABC$ et $GEF$ . Ils ont des bases de même longueur $BC=EF$ , et ils sont construits entre les mêmes parallèles $(BF)$ et $(AG)$ . Dans cette configuration, nous pouvons montrer que leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux triangles : même base, même aire), soit : $[ABC]=[GEF]$ .

Or, par hypothèse, nous avons aussi $[ABC]=[DEF]$ , donc on en déduit que $[GEF]=[DEF]$ ce qui est en contradiction avec le fait que l’aire de $DEF$ est une partie de l’aire de $GEF$ .

$\textbf {Si la droite passe en-dessous de D}$

Le raisonnement est exactement le même, en construisant un point H à l’intersection entre la parallèle à $(BF)$ et $(ED)$ . On aboutit à une nouvelle contradiction analogue à celle ci-dessus avec l’aire de $EHF$ qui ne peut être à la fois égale à celle de $DEF$ et en même temps être une partie de l’aire de $DEF$

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