Une solution unique et bornée ?

On raisonne par analyse-synthèse.
Analyse. Soit $f\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,\mathbb{R})$ telle que $\colon\forall x\in\mathbb{R}^+,f(x)=\displaystyle 1+\int_0^x\dfrac{e^{-t}}{1+f(t)^2}\,\mathrm{d}t.$ On remarque qu’une telle fonction doit satisfaire $f(0)=1.$ La fonction $t\in\mathbb{R}^+\mapsto \dfrac{e^{-t}}{1+f(t)^2}$ est continue comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas. Par le théorème fondamental de l’analyse $f$ est alors de classe $\mathcal{C}^1$. On peut alors dériver la relation satisfaite par $f$ ce qui donne
$$f'(x)=\dfrac{e^{-x}}{1+f(x)^2}\Leftrightarrow f'(x)+f'(x)f^2(x)=e^{-x}$$puis, pour $y\in\mathbb{R}^+$, en intégrant entre $0$ et $y$, on a
$$f(y)-f(0)+\dfrac{1}{3}(f(y)^3-f(0)^3)=1-e^{-y}\text{ donc }\dfrac{1}{3}f(y)^3+f(y)=\dfrac{7}{3}-e^{-y}.$$On pose $g\colon t\in\mathbb{R}\mapsto \dfrac{1}{3}t^3+t$. C’est une fonction polynomiale donc de classe $\mathcal{C}^\infty$ et on a $\forall t\in\mathbb{R},g'(t)=t^2+1>0$. La fonction $g$ étant continue et strictement monotone décrit donc une bijection sur son image qui est $\mathbb{R}$ à cause de ses limites en $+\infty$ et $-\infty.$ On note $h=g^{-1}$ sa réciproque. On a donc $\forall y\in\mathbb{R}, f(y)=h\left(\dfrac{7}{3}-e^{-y}\right)$ ce qui termine l’analyse. On peut aussi dans un même temps anticiper la dernière question. En effet, l’analyse montre que s’il existe une telle solution alors elle est unique.
Synthèse. Soit $f\colon x\in\mathbb{R}^+\mapsto h\left(\dfrac{7}{3}-e^{-x}\right)$. On pose $\varphi\colon x\mapsto 1+\displaystyle\int_0^x\dfrac{e^{-t}}{1+f(t)^2}\,\mathrm{d}t$. On veut montrer que $\varphi$ et $f$ sont égale. Pour cela on va montrer que $f'=\varphi'$ et qu’elles coïncident en un point. Puisque $g'$ ne s’annule pas, et que $g\circ h=\operatorname{id}$, la fonction $h$ est dérivable et $h'\times (g'\circ h)=1$ donc $\forall t\in\mathbb{R}, h'(t)=\dfrac{1}{1+h(t)^2}.$ Par conséquent, $\forall x\in\mathbb{R}, f'(x)=\dfrac{e^{-x}}{1+f(x)^2}=\varphi'(x).$ Par ailleurs, $\varphi(0)=1$ et, puisque $g(1)=\dfrac{1}{3}1^3+1=\dfrac{4}{3}$ on a $f(0)=h\left(\dfrac{7}{3}-1\right)=h\left(\dfrac{4}{3}\right)=1.$ On a donc $f=\varphi$ ce qui prouve que $f$ est bien solution de l’équation fonctionnelle.

Il existe donc une solution à l’équation fonctionnelle et elle est unique d’après l’analyse. Par ailleurs, $\forall x\in\mathbb{R}^+, \dfrac{7}{3}-1=\dfrac{4}{3}\leqslant \dfrac{7}{3}-e^{-x}\leqslant \dfrac{7}{3}$ donc $f(\mathbb{R}^+)\subset h\left(\left[\dfrac{4}{3},\dfrac{7}{3}\right]\right)$ qui est borné comme image continue d’un segment par une application continue. Donc $f$ est bornée.