Unicité d'un $p$-sous-groupe de Sylow

Unicité d’un

p

-sous-groupe de Sylow

by Ancient Tree·

Soit $G$ un groupe fini et $p$ un nombre premier divisant $|G|$ .
Montrer que $G$ possède un unique $p$ -sous-groupe de Sylow si et seulement si ce $p$ -sous-groupe de Sylow est normal dans $G$ .

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Solution by Ancient Tree

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Il s’agit d’un corollaire du deuxième théorème de Sylow.

En effet :

Supposons que $G$ possède un unique $p$ -sous-groupe de Sylow $S$ . Comme $gSg^{-1}$ est encore un $p$ -sous-groupe de Sylow pour tout $g\in G$ , on obtient par le théorème que $gSg^{-1}=S$ , donc $S$ est normal dans $G$ .
Réciproquement, supposons que $S$ est normal dans $G$ . D’après le théorème, les autres $p$ -sous-groupe de Sylow $T$ sont conjugués avec $S$ , c’est-à-dire que $T=gSg^{-1}$ pour un certain $g\in G$ ; or comme $S$ est normal dans $G$ , on a que $T=gSg^{-1}=S$ . D’où $S$ est unique.

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