Unicité d’un $p$-sous-groupe de Sylow

Il s’agit d’un corollaire du deuxième théorème de Sylow.

En effet :

• Supposons que $G$ possède un unique $p$-sous-groupe de Sylow $S$. Comme $gSg^{-1}$ est encore un $p$-sous-groupe de Sylow pour tout $g\in G$, on obtient par le théorème que $gSg^{-1}=S$, donc $S$ est normal dans $G$.
• Réciproquement, supposons que $S$ est normal dans $G$. D’après le théorème, les autres $p$-sous-groupe de Sylow $T$ sont conjugués avec $S$, c’est-à-dire que $T=gSg^{-1}$ pour un certain $g\in G$ ; or comme $S$ est normal dans $G$, on a que $T=gSg^{-1}=S$. D’où $S$ est unique.