Deuxième théorème de Sylow

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Soit $G$ un groupe fini et $p$ un nombre premier.
Tous les $p$ -sous-groupes de Sylow de $G$ sont conjugués entre eux.

Autrement dit, si $P$ et $Q$ sont deux $p$ -sous-groupes de Sylow de $G$ , alors il existe $g\in G$ tel que
$Q=gPg^{-1}.$

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Soit $G$ un groupe fini et $p$ un nombre premier divisant $|G|$ .
Montrer que $G$ possède un unique $p$ -sous-groupe de Sylow si et seulement si ce $p$ -sous-groupe de Sylow est normal dans $G$ .

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