Sequence of iterated sinus

Cette solution est une proposition de la résolution de cet exercice sans utiliser les questions analogues.

On traitera la résolution de cet exercice en employant une technique puissante que l’on peut généraliser à différentes suites récurrentes de la forme $u_{n+1}=f(u_{n})$
Pour cela, on utilise le lemme de Cesaro, qui stipule:
$$\text{Si } \lim_{n \to +\infty} x_n = \ell, \quad \text{alors } \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} x_k = \ell$$On cherche alors une fonction $\phi$ dérivable vérifiant $\phi(u_{n+1})-\phi(u_{n}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$, ainsi en appliquant le lemme de Cesaro à la suite $(\phi(u_{n+1})-\phi(u_{n}))_{n}$, il vient par téléscopage:
$$\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \phi(u_{n+1})-\phi(u_{n}) = \frac{\phi(u_{n})-\phi(0)}{n} \sim \frac{\phi(u_{n})}{n} \sim 1$$Donc $\phi(u_{n}) \sim n$, on peut donc en déduire un équivalent de $u_{n}$.

Pour trouver $\phi$, on note d’abord $g(x)=f(x)-x$, tel que $u_{n+1}-u_{n}=g(u_{n})$, puis on suppose l’existence d’un tel $\phi$ dérivable.
Par un DL à l’ordre 1, il vient:
$$\phi(u_{n+1})=\phi(u_{n})+(u_{n+1}-u_{n})\phi'(u_{n})+\underset{n \to +\infty}{\mathrm{o}}({u_{n+1}-u_{n})} =\phi(u_{n})+g(u_{n)})\phi'(u_{n})+\underset{n \to +\infty}{\mathrm{o}}(g(u_{n}))$$Donc $\phi(u_{n+1})-\phi(u_{n}) \sim g(u_{n)})\phi'(u_{n}) \sim 1$
On pose donc $\phi$ une primitive d’un équivalent de $1/g$ quand $x \to (\lim_{n \to +\infty} u_n)$.
Réciproquement, si $\phi$ est une primitive d’un équivalent de $1/g$ quand $x \to (\lim_{n \to +\infty} u_n)$, on vérifie aisément que $\phi$ est dérivable et $\phi(u_{n+1})-\phi(u_{n}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$ par construction.

Application à l’exercice:
On pose$f(x)=\sin(x)$ et $g(x)=f(x)-x$
On vérifie par récurrence immédiate que $\forall n \in \mathbb{N},sin(u_{n}) \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$
Donc $u_{n+1}-u_{n}=g(u_{n})=\sin(u_{n})-u_{n}<0$, donc la suite $(u_{n})_{n}$ est décroissante.
La suite $(u_{n})_{n}$ étant décroissante et minorée par $0$, elle converge.
On note $\ell$ sa limite, il vient $\sin(\ell)=\ell$ , donc $\ell=0$

On a $u_{n} \to 0$, donc on pose $\phi$ comme étant une primitive d’un équivalent de $1/g$ quand $x \to 0$
Comme $1/g \underset{x \to 0}{\sim} -\frac{6}{x^{3}}$, on pose $\phi(x)=\frac{3}{x^{2}}$.
Il vient $\phi(u_{n}) \sim n$ (d’après la démonstration ci-dessus), donc $\frac{3}{u_{n}^{2}} \sim n$.

Donc $u_{n} \sim \sqrt{\frac{3}{n}}$