Valeurs rationnelles de $\tan⁡(r\pi)$

On admet que les $r \in \mathbb{Q}$ tels que $\cos(r\pi) \in \mathbb{Q}$ est l’ensemble $\frac{1}{3}\mathbb{Z} \cup \frac{1}{2}\mathbb{Z}$ (voir problèmes liés).
On a
$$\cos(2r\pi)=2\cos^{2}(r\pi)-1=\frac{2}{1+\tan^{2}(r\pi)}-1=\frac{1-\tan^{2}(r\pi)}{1+\tan^{2}(r\pi)}$$Si $\tan(r\pi) \in \mathbb{Q}$, alors $\frac{1-\tan^{2}(r\pi)}{1+\tan^{2}(r\pi)} = \cos(2r\pi) \in \mathbb{Q}$, donc $r \in \frac{1}{6}\mathbb{Z} \cup \frac{1}{4}\mathbb{Z}$, donc $\tan(r\pi) \in \{-1,0,1\} \subset \mathbb{Q}$
Réciproquement, si $r \in \frac{1}{6}\mathbb{Z} \cup \frac{1}{4}\mathbb{Z}$, alors seuls les $r \in \mathbb{Z} \cup (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\mathbb{Z})$ conviennent.
Donc l’ensemble des solutions est
$$r \in \mathbb{Z} \cup (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\mathbb{Z})$$

cas 1: tan(rPi)=1

On regarde le cercle trigonométrique
cos(Pi/4)=sin(Pi/4)
cos(Pi+Pi/4)=sin(Pi+Pi/4)

d’où cos(k.Pi+Pi/4)=sin(k.Pi+Pi/4) pour tous k entiers relatifs

rPi=k.Pi+Pi/4 ==> r=k+1/4

cas 2: tan(rPi)=0

On regarde le cercle trigonométrique
cos(0)=1 et sin(0)=0
cos(Pi)=-1 et sin(Pi)=0

d’où cos(k.Pi)=sin(k.Pi) pour tous k entiers relatifs

rPi=k.Pi ==> r=k

cas 3: tan(rPi)=-1

On regarde le cercle trigonométrique
cos(-Pi/4)=-sin(-Pi/4)
cos(Pi-Pi/4)=-sin(Pi-Pi/4)

d’où cos(k.Pi-Pi/4)=-sin(k.Pi-Pi/4) pour tous k entiers relatifs

rPi=k.Pi-Pi/4 ==> r=k-1/4

NB: on voit pour les cas 1 et cas 3, on peut les fusionner en 1/4+k/2

Conclusion:
r={k,1/4+k/2} pour tous k entiers relatifs