Base duale

Définition intuitive

Etant donnée une base $(e_1,\ldots,e_n)$ d’un espace vectoriel, on peut considérer les applications « coordonnées » qui, à chaque vecteur, associent l’une de ses coordonnées dans cette base.

Ces applications sont des formes linéaires, et on montre qu’elles forment une base de l’espace des formes linéaires, appelé espace dual. D’où le nom de base duale.

Définition formelle

Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$.

Pour tout $i\in{1,\ldots,n}$, on définit la forme linéaire $e_i^*\in E^*$ par
$$e_i^*(e_j)=\delta_{ij}= \begin{cases} 1 & \text{si } i=j,\\ 0 & \text{si } i\neq j, \end{cases}$$pour tout $j\in{1,\ldots,n}$, où $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker.

Alors $(e_1^*,\ldots,e_n^*)$ est une base de $E^*$, appelée base duale de $(e_1,\ldots,e_n)$.