Espace vectoriel dual

Définition formelle

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$.

On appelle espace dual de $E$, et on note $E^*$, l’ensemble des formes linéaires sur $E$ :
$$E^{*}=\mathcal L(E,\mathbb K).$$Muni des opérations usuelles sur les applications, $E^{*}$ est lui-même un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$.

Remarques

• Dimension infinie. Il faut distinguer le dual algébrique $E^{*}$ (toutes les formes linéaires) du dual topologique $E'$ (les formes continues). Sur un espace normé de dimension infinie, l’inclusion $E'\subsetneq E^{*}$ est stricte : il existe des formes linéaires non continues, dont la construction requiert l’axiome du choix. En dimension finie, toute forme linéaire est automatiquement continue.